机械先驱、机械先驱

英雄联盟：机械先驱维克托中单基础攻略

大家好，这篇攻略将会和大家分享一些LOL中机械先驱维克托的中单入门知识。虽然下面给出的符文、天赋以及游戏玩法并不是每个人都会赞同，因为维克托是一个可塑性很强的英雄，可以承担很多不同的角色，但是这些经验是根据自己的游戏经历和玩家数据统计网站铂金以上段位维克托玩家的大数据进行总结的。

希望本文能够帮助新手玩家快速入手维克托这个英雄，并且使用他在排位愉悦地上分。

之所以选择维克托，是因为他相对其他法师英雄来说有4个优势。

首先，维克托有比较强的清兵能力。当他的等级升到7级，并且使用科技核心进化过死亡射线之后能够很快速地清掉一波兵线。现在LOL的对线期，掌握推线权的一方就有做河道视野、配合打野入侵敌方野区或者支援边路的主动权，如果清楚对方打野的位置或者己方打野/辅助能帮自己反蹲的话，还能在兵线进入敌方塔下的时候尝试对防御塔进行消耗，赚取镀层的赏金。

第二，维克托的强大AOE和重力场让他成为打团能力很强的英雄。强化过的重力场生效之后不仅可以晕眩敌人，还能够对敌人造成被动位移，就算无法生效，团战中位置刁钻的重力场也能够起到分割对方阵型，或者阻止对方追击的作用。进化过的Q技能的加速可以让维克托在团战中更加灵活地调整位置，有利于规避技能和追杀、逃跑。大招混乱风暴配合进化过的死亡射线可以打出成吨的AOE伤害。

第三，维克托的玩法很多，能够适应多种团队需要。虽然他几乎没有任何一方面是LOL里最顶尖的。他的重力场在团战中是一个不错的范围控制，但纯比功能性的控制能力，妮蔻和莫甘娜都比他强；他虽然有很高的爆发能力，但妖姬、鱼人这样的刺客爆发又远在他之上；他虽然在后期有非常优秀的表现，但逊色于吸血鬼和大天使；他虽然能出冰拳和深渊走法坦路线，但和乌鸦比起来就相形见绌。这是维克托的劣势，但又是他的优势，因为他可以调整出装配合团队阵容，并且通过针对性的装备在对线上取得先机。

下面说说维克托的一些缺点。

第一，维克托没有太好的手段去应对gank.由于死亡射线的存在，维克托很容易不断把兵线推过去，这经常会招来对方打野甚至是对方边路的gank，而维克托的重力场虽然有范围晕眩的效果，但并不是立即生效，敌人可以通过闪现或者位移直接越过重力场威胁到维克托的性命。

第二，维克托第一次升级科技核心实在太过于重要。但是第一次升级却需要花费他1150金币，维克托玩家大多都希望在前3次回家的时候就升一级海克斯核心，因此非常需要打野掩护自己吃下第一个1150金币，如果第一次回家时金币不够的话，那么购买过度装备又会导致科技核心的升级时间延后，但如果不购买过度装备的话，相当于第一次回家仅仅是恢复状态，在战斗力上没有实质性的提升，这个前期阶段可以说是维克托最难受的时候。单排时假设打野完全不管的话，甚至会影响到维克托后续游戏的进展。

第三，维克托天生少一个格子。虽然海克斯科技核心是一个很强的道具，但是在中期之后，维克托会面临一个问题，那就是身上有一个格子要带真眼，还有一个格子可能要带鞋子，再加上科技核心就只剩下了3个格子，此时基本上你除了升级过的科技核心之外应该还有了第一件成装，剩下装散件的格子就只有2个，这可能导致你身上会存不少的金币，直到成装做出来，越到后期，这种“囤钱”的事情就越多，要知道，LOL这个游戏，金币不转化为装备提升战斗力就毫无意义。

维克托常见的符文组合大概是上面的这两种，一种电刑，一种艾黎。

先来说艾黎，艾黎的优点在于它的冷却时间很短，打出去之后当艾黎返回你身边，你就又可以通过攻击或者技能把它丢出去，在早期如果你习惯使用Q技能稳着换血的话，艾黎是一个很好的选择。多数的中单维克托带的也都是艾黎。

电刑相比于艾黎有着更高的爆发伤害，但是打出电刑需要更多的时间，在这个过程中敌人可以选择就地反打或者是往后拉开让你打不出电刑。一般来说维克托可以利用Q+A+A的方式打出电刑，当然也可以用Q+A+E，后者触发电刑的速度在熟练度高了以后会更快。带电刑在初期和打野的配合也会更好一点，但同时你也会损失一个巫术系的符文，比如焦灼或者风暴汇聚。

血之滋味可以增加你在线上的续航能力，并且不像贪欲猎手需要进行叠加，血之滋味产生的治疗是自适应的一个数值，只要你的技能命中就可以触发，比如死亡射线。尤其是在你认为比较困难的对线中，血之滋味基本是必带的符文。

如果你选择的基石符文是电刑，那么贪欲猎手+血之滋味将会带来十分可观的恢复能力，在中后期的团战里，这两个天赋有时候是你站到最后的保障。第三个主宰系符文带的比较多的是“眼球收集者”。

巫术系的法力流系带是同层里面维克托收益最高的符文，叠满之后会增加你250点法力值上限，并且还会加快你的法力回复速度，这些都是非常实用的属性，因为维克托无论是打团、刷兵还是对线，都需要使用大量的死亡射线。而且你的法力值越多，Q技能给到你的护盾值也就越多，变相提高了维克托的生存能力。

超然也是一个对维克托非常优秀的符文，在携带了超然之后，维克托可以无所顾忌地出鬼书、冰杖等不带减CD属性的装备，让他的出装路线更加灵活。

风暴汇聚是你在对线某些难以消耗到的英雄时可选的符文（艾黎作为基石符文的时候），比如泽拉斯和人这种手比你还长的英雄，这个时候焦灼符文的价值会大打折扣。但是风暴汇聚的问题在于，假设游戏在30分钟以内结束，那么风暴汇聚的收益是非常低的。常规情况下还是焦灼符文带的比较多。

通常来说，维克托的加点方式如上图所示。

海克斯核心优先进化死亡射线，其次是Q，最后进化W重力场。

1级学习Q技能是因为这让你可以在1级的时候就可以跟对面进行换血，同时也很方便补兵。

死亡射线是中单维克托命根子一样的技能，海克斯升级之后的效果是E技能释放1秒以后，原来射线的路径上会发生爆炸，产生2段伤害。这对于死亡射线来说是质变级别的加强，让它能够快速清兵并且在会战中更具杀伤力。

Q技能进化之后，可以让维克托有一个爆发式的加速效果，并且提升Q技能产生的护盾值，也是直接提升战斗力的一个升级，维克托作为一个没有位移的法师英雄，加速效果能让他进可追杀，退可逃跑。

W技能重力场进化之后可以把晕住的敌人拉往中心，虽然效果也很不错，但是对战斗力的提升比起E和Q的进化来说并没有那么明显。

在你把海克斯核心升级到顶级之后，大招会自动得到进化，效果是混乱风暴的移动速度提升20%（在释放大招之后，你在鼠标指针所在位置再次按下R键，可以操纵混乱风暴进行移动）。

当阿卡丽用近战攻击补刀的时候，你可以利用射程优势对她进行消耗。阿卡丽在等级起来以后不仅有隐身能力，而且清线速度也并不慢，你不仅需要防止她把兵线推到你的塔下对防御塔镀层进行消耗，还要防止她把兵线控在一个十分恶心的位置让你不敢上去补刀（尤其是在她6级之后）。阿卡丽配合很多打野都可以把你打残甚至击杀，让你提前回家，延缓你海克斯核心的第一次升级。如果你并不擅长对线阿卡丽，并且对面又是后选你不得不面对，那么建议召唤师技能带一手虚弱。如果你对自己线上的能力有自信，那么可以带点燃增加压制力。但是会玩的阿卡丽你拿她基本没有太好的办法，她在6级之后有极高的爆发，并且高灵活度可以有效躲避死亡射线，重力场和混乱风暴。在团战中尽量在阿卡丽第二个CD完毕之前将她击杀，否则后果非常严重。

对线安妮的时候，可以在1级的时候就猛推线（甚至有人1级直接学E推线），因为如果不把兵线快速推进安妮的塔下，那么她可以利用Q技能非常安逸地补刀，快速推线进安妮的塔内可以干扰她的补刀节奏。对线期如果她开大召熊的话，你可以用重力场对熊进行控制，这比控人容易太多了，打团的时候在她冲上来打完一套以后，后续能干的事情其实非常有限，因为她的晕需要技能叠层，Q和喷火的射程很短，这经常会让安妮把自己置于危险的位置，此时击杀安妮就很容易了，不过最关键的还是不要让她的一套爆发打在你的身上，如果安妮和你1换1其实并不是什么好结果。

冰鸟的射程没有维克托那么长，所以尽量在远处对她进行消耗。跟她硬换血其实不赚，电刑冰鸟的换血能力比维克托要强，在六级的时候，冰鸟的推线能力要远超维克托，此时你可以选择呼叫打野过来对她进行gank，或者尝试支援边路打开局面。现在冰鸟的大招需要在一个目标身上持续1.5秒以后才能对冰枪有完全的增幅，所以冰鸟在你脚下放大招的时候不要慌，走出去就好。会玩的冰鸟在团战中可以给对方造成很大的麻烦，因为冰墙、Q技能以及大招都有很强的控制效果，并且依靠被动和炽天使杖的护盾冰鸟还能吸收不少伤害，增幅过的冰枪有非常高的单体爆发伤害。在对方有冰鸟的时候，可以考虑做女妖面纱来进行应对。

对线刀妹你需要在4级之前确立优势，如果这段时间没有被有效利用，那么刀妹后续很容易就可以威胁到维克托。你需要远离快死的那些己方小兵，否则会被刀妹用Q技能突上来贴脸，另外她还可以在你没有视野的地方藏一个比翼双刀，在突进的瞬间拉出比翼双刀把你打晕，所以一定要格外小心。刀妹就算遭到了连续的削弱，但是你除非有碾压级别的优势，否则跟她1V1几乎没任何胜算。

在3级之前尽量多用Q技能对小鱼人进行消耗，这个阶段他并没有什么太好的方式对你进行反打，除非他交自己的E技能，但是早期小鱼人一旦交了E，就会导致他失去清兵和逃生的能力。和己方打野多做沟通，让打野多来抓他几次，因为你在对线期可以使用重力场骗出他的E，这样就可以给打野制造机会。在6级之后，你需要特别小心他的鲨鱼，吃到鱼的话很容易就会被小鱼人击杀。为了保险起见你可以带光盾跟小鱼人对线，但即便如此在6级之后对线压力依然存在。装备选择方面可以早做沙漏，虽然沙漏提供的是护甲，但是原地无敌的特效在面对小鱼人的时候要比女妖靠谱多了。

对线妖姬，可以选择1级的时候多用Q+A对她进行消耗，因为这个时候她还完全无法引爆自己的印记。尽量躲在一些小兵的后面，但注意不要被她踩到，小兵的阻挡可以让她不能随便施放链子。利用小兵的掩护和死亡射线的射程优势，尽快地把兵线送到她的塔下，让她无法去对边路进行支援。自己在进行支援的时候，注意不要和她在河道或者野区1V1，这种情况维克托是非常危险的。如果压力实在太大，可以直接出女妖，甚至出深渊面具。

跟丽桑卓对线，只要你的站位不会被她利用小兵打出溅射的Q伤害，基本上可以利用死亡射线的射程优势对她进行很好的消耗。召唤师技能最好选择“净化”，因为净化可以解掉她的大招，就算是职业比赛，大多数中单面对丽桑卓的时候也会选择带净化。如果丽桑卓的大招给的是自己，那么你可以直接在她脚下放一个重力场。

对线拉克丝的时候，维克托需要避免在早期和她换血，因为拉克丝的被动引爆之后伤害实在太高。维克托需要做的是憋出第一次海克斯升级，然后不断把兵线送到拉克丝的塔下，在塔下拉克丝不得不交出自己的伤害性技能才能正常补刀，这个时候你再去对她进行消耗危险就小得多。拉克丝的团战表现非常优秀，伤害高，射程远，大招的CD又很短，还可以给队友支援护盾，所以在敌方中单是拉克丝的时候你需要提醒队友，尽量在开阔的地方打团。

对线元首略微有点困难，她的射程不短，并且有极高的单体爆发能力，如果前期打野不帮你，会玩的元首很容易就可以对你形成压制，甚至会早早把你打残让你提前回家，推迟第一次海克斯科技升级。死亡射线和Q技能尽量用来补刀，甚至需要补塔刀。除了海克斯升级之外，你还可以选择尽早做出沙漏或者女妖，如果她在团战中all in技能在你身上，不要犹豫直接开沙漏吧。

对线亚索，首先你需要在他没有护盾的时候再用技能对他进行消耗，其次你需要远离己方的小兵避免他快速接近。亚索的风墙不能挡住你的混乱风暴和被Q强化过的平A.

维克托对线佐伊其实难度不高，她的飞星在对线期很容易被躲避，而且她的清兵能力比维克托差太多，所以使用死亡射线把兵线送到她的塔下是很不错的策略。对线佐伊你需要保持真眼的购买，确保对侧翼视野的掌控，因为她穿墙的催眠气泡很可能在一些奇怪的角度把你睡到，尤其是当你前往边路支援的时候。当你看到一个己方小兵带有她窃法巧手标记的时候，可以预见佐伊很可能会不顾一切去优先击杀这个小兵，这个时候你可以用死亡射线和Q技能打她一套，只要能躲过催眠气泡，那么1V1的战斗维克托并不虚佐伊。在团战中，你可以通过释放重力场反制佐伊的折返跃迁，因为没有人愿意在回到原位的时候恰好踩在重力场的中心位置。

和劫对线的时候，你可以尽可能呆在己方小兵附近，这样就算被手里剑击中也不会吃到太多的伤害，如果他用了影子来消耗你，而此时己方打野就在附近的话，你可以发一个信号让他来尝试gank，失去影子的劫只有闪现这一个逃生手段，打出闪来也是赚的。如果对线期间他选择给你大招杀你，那么你可以选择直接把重力场和混乱风暴放自己附近跟他拼命，配合虚弱或者光盾劫可能赚不到什么便宜。如果在中后期的团战中劫对你使用大招，那么只需要开沙漏就可以化解。

一般来说，维克托的前期游戏目标就是尽可能早的进化第一次海克斯科技核心。但是如果单纯把这个目标归纳为在线上刷1150金币，那么就会显得不那么容易，因为单纯地刷钱会让敌人有机会去边路游走带节奏，所以你在打钱的同时也应该给对面的中单制造一些压力。当敌人距离你很近的时候你可以选择使用Q+A的方式消耗他们，而死亡射线用于消耗应该是在你点了至少2级之后，1级的死亡射线打在敌人身上伤害几乎可以忽略不计，纯粹是浪费蓝量。

由于你前期的目标是快速打钱，并且还需要做一些换血，所以预防gank就显得尤为重要。尽量确保自己的侧翼有视野，当你侧翼的视野消失之后，你最好和打野进行沟通，然后去靠近己方打野活动的那一侧河道，这样可以让他更方便地对你进行支援。如果你对线的时候被击杀或者被打残不得不回家，而且此时并没有足够的金币升级科技核心，我依然建议你花钱去买一些过度装备，关于过度装备在本文后面会做一个比较详细的分析。什么都不购买，直接憋1150真的不是一个好选择。

在你进行了第一次海克斯核心升级之后，你应该不停推线然后消失在对方视野范围内，去支援边路或者帮己方打野进行入侵（或者仅仅是消失在对方视野内一小段时间，让对方以为你走了），当然你也可以留在线上对塔下的敌人进行消耗。在你的死亡射线被进化并且升到3-4级以后，你可以去刷自己家的6鸡，只刷小的不刷大的，因为要刷大鸟的话会浪费不少法力值和血量。虽然此时维克托可以轻松推线，让对方中单不得不留在线上，但此时还没有到维克托真正的强势期。

在后续海克斯核心升满之后，还可以先用重力场把兵线收拢然后用死亡射线一波全收。正因为有这样的特性，维克托本身虽然不是一个很强的分带英雄，但他很擅长去防守分带，这种快速清兵的能力可以让己方的防御塔非常安全。在整个游戏的中期，维克托的任务就是帮助团队防守住尽可能多的防御塔和元素龙等地图资源，同时打更多的钱提升装备。

在团战里，大多数时候你应该处于队伍的后方，并且让辅助对你进行保护，你和AD也应该形成相互保护的态势，因为维克托虽然有Q技能产生的护盾，但依旧十分脆弱，除非选择冰拳+深渊面具这样偏法坦的出装（然而中单维克托很少这样出装）。使用重力场去限制对方的突进角色，并用死亡射线尽可能扫到多的敌人。在队友的控制技能命中敌人之后，你应该按出混乱风暴+死亡射线和重力场，打出高额AOE并补控。如果你们这边的开团英雄，比如皇子，扎克冲了上去并交出自己的关键控制技能，那么必要的时候闪现跟进大招、重力场和死亡射线可能会非常值得，因为维克托在团战时的职责就是把AOE伤害拉满。

如果有合适的机会，你也可以毫不吝啬地把死亡射线，Q+A还有混乱风暴灌到对方的后排身上，尤其是在你有了巫妖之祸以后，这一套有很大概率把对方打出闪现，打残回家甚至直接杀死。在后期，对方少一个C位或者C位少一个闪现的情况下，你们拿到大龙或者推塔的机会会大大增加，而塔和远古资源也是LOL后期阶段争夺最为激烈的两个元素。

我把前期金币不够时候的过度装按照价格高低分为5档，各位可以根据这几个档位来参考前期回家后不够1150金币过度装的选择。但是并不是金币到了哪个档位就一定要购买哪个档位的过度装，具体情况还要具体分析。

（1）750金币

黑暗封印不仅能够提高法力值上限和补充一些AP，并且能够让你受到更多来自药水的治疗，还自带一定的成长性。这个组合适合应对线上压力较小的英雄，比如卡牌大师和妮蔻。

（2）900金币

CD鞋很适合游戏的前期，如果你的召唤师技能此时还没有用过，那么你在下次使用它们的时候就可以享受到CD鞋的减CD效果，但是如果你的闪现已经用过了，那么此时就不要再购买CD鞋，只需要购买草鞋即可。如果对面的中野是双AP，或者有很烦的控制，像是对方打野是稻草人这样，那么水银鞋就会显得很有价值。护甲鞋则是用来应对琪亚娜、泰隆这种物理英雄。在金币不够直接出护甲鞋和水银鞋的时候，先购买小魔抗或者布甲能有效增加你的生存能力。

（3）975金币

这种出装并不是让维克托在线上和对面拼命，而是需要多兰戒的额外血量进行自保，同时让法术能更好地清兵。如果钱够的话，最好能再买一个复用性药水。和辛德拉这种长手擅长压制的英雄对线时，这种过度装备其实还不错。

（4）1100金币

如果你不想购买多兰戒或者黑暗封印这种占用物品栏，后期还会被卖掉的物品，那么你可以在有1100金币的时候直接选择买法穿鞋。尽早购买2速鞋能让你更好地躲避敌方的技能，并且还可以有效提升死亡射线的伤害，让你可以更好地用射线进行远程消耗。在对线需要频繁躲避技能的英雄时，1100金直接出法穿鞋是一个不错的选择。

（5）1125金币

这个组合其实在对线亚索这种短手英雄的时候效果不错，因为对面经常会进入你Q+A的射程，配合耀光的伤害能让你有更强的线上压制能力。但是对付传统长手法师的时候，请忘了这组过度装备吧……

最后简单说一下维克托的核心装备，从大数据上来看，当前版本维克托的核心三件套是：顶级海克斯科技核心+鬼书+巫妖之祸（是真的很少有人做卢登回声了）。

七、一些小技巧

（1）死亡射线没有施法前摇，你可以一边走位一边释放死亡射线，这会让线上的敌人非常难以预测你的消耗，就算是在LPL联赛中，维克托的射线依然是对线期命中率很高的技能。

（2）维克托的大招混乱风暴可以打断敌方的引导性法术，比如卡牌大师的大招，卡特琳娜的大招等。

（3）预判性地放置重力场，除非敌方已经被队友控制，否则不要直接把重力场放在他们脚下，尽量预判他们后续的走位，然后把重力场放在他们的路径上，并且在使用重力场之前，你要清楚对面英雄有哪些位移技能，并大概知道他们位移技能的CD。重力场在野区狭小的位置是非常强大的技能，可以封锁敌人的行动路线，也可以直接切割对方的阵型。

（4）取消QA的攻击后摇大概可以让强化A的生效时间加快10帧左右，取消的方法很多，比如QAE用死亡射线取消攻击后摇，或者在Q打中目标之后快速用右键点击目标，效果大概如下图所示。

以上就是本文的全部内容，希望对各位新手玩家有所帮助。

像球但又不是球？困扰数学界30年的“非常基本的问题”终破解

不知道大家是否见过三角形轮子的自行车。是的，骑起来挺平稳，不会颠簸。

工程师Sergii Gordieiev发明的三角车轮自行车丨图源：Youtuber The Q

把一个圆放在两条平行线中间，使之与这两条平行线保持相切。那么无论我们如何转动这个圆，这两条平行线的距离始终不变。我们管这一性质叫定宽性。

然而，圆不是平面上唯一的定宽曲线。若以一个正三角形的三个顶点作为圆心，以边长作为半径，则包裹住正三角形的三段圆弧围成的图形，就是一条非圆定宽曲线。实际上，它是除圆之外最简单和最著名的定宽曲线：Reuleaux三角形。

构造Reuleaux三角形丨图源：Curve of constant width – Wikipedia

因为它的宽度是恒定的，所以Reuleaux三角形是“除了圆之外，还可以制作什么形状的井盖”这个问题的一个答案。感兴趣的朋友可以尝试验证一下它的定宽性质。

上面动图里的自行车，其轮胎的形状正是Reuleaux三角形。定宽性可使自行车平稳行驶，但由于工程和力学上的现实原因，Reuleaux三角形的轮胎目前并无实用性。不过，这并不意味着Reuleaux三角形仅能充当短视频里的噱头——后文我们会介绍它在工业上的各种应用——它也是数学里重要的研究对象。

但最令人尴尬的一点反而是，历史上对Reuleaux三角形和其它定宽曲线研究得越透彻，就愈发彰显我们对三维，以及更高维度欧式空间里的定宽几何体所知的匮乏。

耶路撒冷希伯来大学的数学荣誉教授Gil Kalai是当代组合学领域的领导者之一。他十多年前曾在数学社区MathOverflow上评论道：“恒定宽度的集合（球除外）没有幸运地被选作Banach空间的范数，无法吸引强大的Banach空间理论的专家来研究它们在大维度下的渐近特性。”所以，数学界把高维空间定宽几何研究打入了冷宫。但他随后笔锋一转：“……但它们（高维定宽几何体）非常令人兴奋，这看起来是一个非常基本的问题。”

此处“非常基本的问题”特指Oded Schramm（Kalai教授曾经的学生）于1988年在普林斯顿大学读博期间提出的、看似很简单的问题：我们能在任何维度上构造一个比球小指数级的定宽几何体吗？

这个非常基本的问题，困惑了数学界长达30多年。直到今年5月，5名研究人员报告说，答案是肯定的。

他们不仅解决了一个高维几何中的难题，而且让数学界第一次看到了这些神秘的高维几何对象可能长什么样子。虽然这些形状很容易定义，但却出奇地神秘。现在，研究人员终于可以进入几何宇宙中曾经完全无法接近的一角。

从二维到三维，以及更高的维度

定义三维空间里的定宽几何对象（后文简称为定宽体）的方式，与前面定义定宽曲线的方式类似。只不过曲线是夹在两条平行线之间，而立体对象要夹在两个平行的平面之间。如果该立体对象无论怎么运动，都不会改变平行平面的距离，那我们就称其为三维定宽体。

类似地，可以定义一般n维空间里的定宽体。只不过要把平面换成n-1维的超平面。

三维空间里的球体，n维空间里半径为1的n维单位球（记为Bn），都是最容易想到的定宽体。但是，球是否就是唯一一类定宽体呢？

历史上的数学家也想弄清这个问题。他们仿造前面构造Reuleaux三角形的方式，在三维空间里构造了Reuleaux四面体。思路就是以正四面体各顶点为圆心，以边长为半径，构造四个球壳。被四个球壳彼此分割的球面包裹住的空间，就是Reuleaux四面体。

一开始，人们猜测Reuleaux四面体是三维空间里的非球定宽体。但很遗憾，它并不是。大家可以试着计算一下，验证这一点。

Reuleaux四面体 |图源：Reuleaux tetrahedron – Wikipedia

好消息是，可以通过局部“手术”，把它改造成定宽体！所以现在我们有了第一种非球形的三维定宽体——Meissner体。

想必读者朋友也注意到了，在三维空间中构造定宽体已然颇为不易，升至更高维的空间中，难度超乎想象。更何况，为了解答Schramm提出的难题，还需要保证：

对某个小于1的正数q，当n足够大时，总是存在宽度为2的n维定宽体Kn，其体积V（Kn）＜q·V（Bn）。其中V（*）表示对象*的体积。

数学家想不出如何直接构造出高维定宽体，所以只能依赖既有的经验。仿照二维和三维成功路径，从一组点开始（称之为“种子”），然后以每个种子为圆心作一个高维球面。寻找能被所有球面包裹的对象，看看它是否具有恒定宽度。

但是在高维世界里，要弄清楚种子的子集能带来的形状，是非常困难的工作。

4位乌克兰的数学家Andrii Arman、Andriy Bondarenko、Danylo Radchenko和Andriy Primak对不同的种子进行了实验，最终试出了一条特定曲面。他们知道曲面划出了一个区域，其中包含一个足够小的定宽体。但他们想了解该定宽体到底是什么样子。

在他们追寻答案时，Arman看到了MathOverflow上2022年的一则帖子，进而结识了肯特州立大学的Fedor Nazarov。后者一直在独立研究Schramm的问题，他的方法看起来与乌克兰团队的方法非常相似，尽管他也陷入了困境。乌克兰团队邀请他加入他们。就在那时， Nazarov意识到了其他人错过的东西：他们的种子赋予的形状不单纯是包含了一个定宽体，它本身就是定宽体！

从左至右: Andrii Arman, Andriy Bondarenko and Danylo Radchenko, Fedor Nazarov, and Andriy Primak. |图源：Andrii Arman, Andriy Bondarenko, Fedor Nazarov, Andriy Prymak, and Danylo Radchenko Constructed Small Volume Bodies of Constant Width | Combinatorics and more (wordpress.com)

在那个尤里卡时刻，问题全都迎刃而解。他们的工作指出，对任意足够大的维度n，都存在一个宽度为2的定宽体Kn，满足V（Kn）＜0.9·V（Bn）。

Arman说，尽管结论背后有着复杂的思路，但他们的构造是本科生就足以验证的。实际上，他们的论文仅有7页（见参考[6]），而且没有给出构造几何体的3D图示。在一篇几何学论文里，没有几何对象的图示，甚至引起了很多数学家的吐槽。

卡内基梅隆大学的数字几何学家、计算机科学与机器人学副教授Keenan Crane按论文里的方法制作了3维定宽体的图像，并特意指出，因为原始论文竟然没有配图，所以自己动手制作了一个。

3维空间中体积小于球体的定宽体。丨图源：卡内基梅隆大学数字几何学家、计算机科学与机器人学副教授Keenan Crane

回到二维

虽然Arman等人的工作揭示了一般n维空间里定宽体的渐进特性，但目前实质上还处于“皮毛”阶段。和二维定宽曲线相比，我们对高维定宽体的各种细节还知之甚少。

除了之前介绍过的Reuleaux三角形，还存在大量的定宽曲线。实际上，我们可以从数学上证明，每一个奇数条边的正多边形都可以借助画圆弧的方法生成一条定宽曲线。此类定宽曲线就叫做Reuleaux多边形。Reuleaux三角形就是其中最简单的Reuleaux多边形。

但是，Reuleaux多边形的边缘都是圆弧，那是否存在边缘不是圆弧的定宽曲线呢？

答案是肯定的。

我们有非圆弧拼接，更加光滑的代数定宽曲线。例如，下面的多项式的零点形成一条宽度恒定的非圆平滑代数曲线：

f(x,y)=(x+y)−45(x+y)−41283(x+y)+7950960(x+y)+

16(x−3y)+48(x+y)(x−3y) +x(x−3y)(16(x+y)−5544(x+y)+266382)−720。

曲线的次数为8，这是定义定宽非圆曲线的多项式的最小可能次数。

对于所有定宽曲线，有Barbier定理：定宽曲线的周长πw（w就是那个恒定的宽度），无论其形状如何。

此外，非常重要的Blaschke-Lebesgue定理指出，Reuleaux三角形在同宽度的所有定宽曲线中具有最小的面积。很多数学家都想找到三维里体积最小的定宽体，但至今徒劳无功。

Arman的5人团队在解答了Schramm问题后，最近几个月里就在研究上面的问题。但因为毫无结果，不久前宣布放弃追逐，回到他们早年的研究工作之中。

Reuleaux三角形的历史和应用

我们毕竟是生活在三维世界里，高维几何学的前沿研究往往对现实生活影响有限。根据Arman的说法，在更高的维度上，他们发现的定宽体或许有助于开发用于分析高维数据集的机器学习方法。

但是，Reuleaux三角形则是确凿无疑地早已被应用于各种生活和工业场景中。19世纪的德国工程师Franz Reuleaux是研究将一种运动转换为另一种运动的机械的先驱。他在设计中使用了Reuleaux三角形。这就是其名称的由来。但它的历史可追溯得更加久远。

Reuleaux三角形的早期应用来自达·芬奇于1514年左右绘制的世界地图，其中地球的球面被分成八片，每片都被压成一个Reuleaux三角形的形状。

达·芬奇于1514年左右绘制的世界地图|图源：Reuleaux triangle – Wikipedia

不过第一个意识到定宽曲线的存在、并观察到Reuleaux三角形具有定宽性质的人可能是欧拉（Leonhard Euler）。在他于1771年发表并于1781年重新整理发表的题为的论文中，欧拉研究了曲线三角形以及他称之为类圆的定宽曲线。

Reuleaux三角形和其它定宽曲线的存在表明，仅靠直径测量无法验证物体是否具有圆形横截面。

1986 年，“挑战者”号航天飞机在升空73秒后爆炸，著名物理学家理查德·费曼（Richard Feynman）被请来调查事故原因。他后来证明，本来用于连接航天飞机固体火箭助推器部分的“O形圈”密封件由于低温而失效，造成了灾难性的后果。但他也发现了不少别的问题。其中就包括NASA测量O形圈形状的方式。在飞行前测试期间，工程师反复测量了密封件的宽度，以验证它们没有变形。

费曼后来写道，因为存在定宽曲线，这些测量是无用的。

虽然它们给圆截面测量带来了隐患，但定宽曲线的形状也带来了非常有用的性质。目前有几种类型的机械采用Reuleaux三角形的形状，基于其能够在正方形内旋转的特性。

Reuleaux三角形在一个正方形内滚动，同时始终接触所有四个边。丨图源：Curve of constant width – Wikipedia

Watts Brothers Tool Works的方形钻头具有Reuleaux三角形的形状，经过凹面修饰以形成切割表面。当安装在允许钻头没有固定旋转中心的特殊卡盘中时，它可以钻出一个近乎方形的孔。

德国工程师Felix Wankel借助Reuleaux三角形设计了一种采用偏心旋转，将压力转化为旋转运动的内燃机。

Wankel KKM发动机的冲程循环丨图源：Wankel engine – Wikipedia

大约50年前，马自达的工程师成功地将Wankel的转子发动机商业化。转子发动机因其比传统活塞发动机更小、更轻，且具有优越的功率重量比而闻名。与传统发动机不同，转子发动机没有往复运动的部件。它使用一个在壳体内旋转的三角形转子，使其运行更安静、更平稳。这种设计还允许在给定排量下实现出色的性能。

尽管最后一款使用13B转子发动机的车型RX-8在2012年停产，马自达仍继续生产转子发动机及其零部件，保持着转子发动机的传统。

苏联Luch-2基于Reuleaux三角形的8毫米胶片放映机中的进片机构。丨图源：Reuleaux triangle – Wikipedia

Reuleaux三角形的其它应用包括吉他拨片、消防栓防篡改螺母、铅笔形状的设计等等。

开始的尾声

前文提及， 5人团队在解决了Schramm问题后，就转向了离散几何的其它领域。但他们留下了一个新的高维几何世界供其他人探索。

2008年，Schramm在许多不同的数学领域取得了重大进展后，却在一次徒步旅行事故中丧生。作为他曾经的老师，Kalai教授很高兴看到今天的研究者继承并延续了Schramm的学术遗产，结出丰硕的果实。

他说，以前在更高的维度中，人们都认为定宽体应表现得像球，至少在体积特性方面是这样。但“事实并非如此。所以这意味着高维几何体的理论非常丰富。”

2010年，Gil Kalai在MathOverflow上发帖，希望让更多数学家去关注那个“非常基本的问题”——Schramm问题。

在今年5月最后的一天，Kalai在这尘封已久的帖子下回复自己道：“问题已获解决。”

致谢：感谢美国加州理工学院数学系倪忆教授对本文的审核和修订。

参考文献

[1] Curve of constant width – Wikipedia[2] Reuleaux triangle – Wikipedia[3] mg.metric geometry – Volumes of sets of constant width in high dimnsions – MathOverflow[4] Mathematicians Discover New Shapes to Solve Decades-Old Geometry Problem | Quanta Magazine[5] Andrii Arman, Andriy Bondarenko, Fedor Nazarov, Andriy Prymak, and Danylo Radchenko Constructed Small Volume Bodies of Constant Width | Combinatorics and more (wordpress.com)[6] [2405.18501] Small volume bodies of constant width (arxiv.org)

[7] Wankel engine – Wikipedia

来源：返朴

编辑：亦山

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